Homogenization of nonlinear visco-elastic composites

Quasi-static processes in nonlinear visco-elastic materials of solid-type are here represented by the system: σ −B(x) : ∂ε ∂t ∈ β(ε, x), −divσ = f , (∗) coupled with initial and boundary conditions. Here σ denotes the stress tensor, ε the linearized strain tensor, B(x) the viscosity tensor, β(·, x) a (possibly multi-valued) maximal monotone mapping, and f an applied load. Existence and uniqueness of the weak solution are proved. A composite material in which the data β and B rapidly oscillate in space is then considered, and a two-scale model is derived via Nguetseng’s notion of two-scale convergence. Although neither the stress nor the strain need be mesoscopically uniform, it is proved that their coarse-scale averages solve a global-in-time single-scale homogenized problem (upscaling). From any solution of the latter a solution of the two-scale problem is then reconstructed (downscaling). These results are at variance with the outcome of so-called analogical models, that assume a mean-field-type hypothesis. Finally, we represent the system (∗) as a minimum problem, and interpret the above results in terms of twoand single-scale Γ -convergence. © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Des processus quasi-statiques pour des matériaux visco-élastiques de type solide sont décrits ici par le système : σ −B(x) : ∂ε ∂t ∈ β(ε, x), −divσ = f , (∗) couplé à des conditions aux limites et initiales. Ici σ désigne le tenseur des contraintes, ε le tenseur des déformations linéarisées, B(x) le tenseur de viscosité, β(·, x) un opérateur maximal monotone (éventuellement à valeurs multiples), et f une charge appliquée. L’existence et l’unicité de la solution faible sont établies. Un matériau composite pour lequel β et B oscillent rapidement en espace est alors considéré, et un modèle à deux échelles est obtenu par la notion de convergence à deux échelles de Nguetseng. Bien que ni les contraintes ni les déformations n’ont besoin d’être uniformes à l’échelle mésoscopique, il est prouvé que leurs moyennes à l’échelle grossière sont solutions d’un problème homogénéisé à une échelle globale en temps (upscaling). Une solution du problème à deux échelles est alors reconstruite à partir d’une solution quelconque de ce dernier problème (downscaling). Ces résultats sont différents de ceux obtenus pour des modèles dits analogiques, qui supposent une hypothèse de type champ moyen. Finalement, nous représentons le système (∗) sous la forme d’un problème de minimisation, et interprétons les résultats ci-dessus en termes de Γ -convergences à une ou deux échelles. © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. E-mail address: [email protected]. 0021-7824/$ – see front matter © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.matpur.2008.02.002 Author's personal copy 478 A. Visintin / J. Math. Pures Appl. 89 (2008) 477–504 MSC: 35B27; 49J40; 74Q